Pretendo que el siguiente post sea divulgativo pero que a la vez les haga reflexionar. Me gustaría que me dieran su opinión al respecto, si lo encuentran demasiado técnico o si, al contrario, echan de menos más rigor y tecnicismo.
Todos tenemos unos principios casi absolutos sobre los que fundamentamos nuestras vidas y quizá no somos conscientes de la finitud y relatividad de nuestro conocimiento. Sin embargo, creo también que no es bueno pensar demasiado, sólo lo necesario, dependiendo de cada cual, para alcanzar una relativa tranquilidad-felicidad. Cuando era adolescente mantuve una discusión con un amigo acerca del realismo matemático. Son las matemáticas una creación humana para explicar el mundo físico o bien surgen de manera natural de éste?. El realismo matemático sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente de la mente humana, que los humanos no inventan las matemáticas sino que las descubren como presumiblemente lo harán otros seres inteligentes en el universo. Muchos grandes matemáticos han sido realistas como Paul Erdős y Kurt Gödel. Gödel creía en una realidad matemática objetiva que puede ser aprehendida de una manera análoga a la percepción sensitiva.
Las matemáticas han sido consideradas desde la antigüedad un cuerpo de verdades absolutas y una ciencia exacta. Esta consideración se basa, principalmente, en la infalibilidad del método deductivo, que consiste en demostrar determinadas propiedades a partir de unos cuantos axiomas siguiendo unas reglas de inferencia establecidas.Durante los siglos fueron apareciendo problemas abiertos aunque existía la certeza de que algún día serían resueltos.
Fue en el siglo XIX, sin embargo, cuando en geometría apareció una idea extraña que hizo dudar a los matemáticos de su confianza ciega en la verdad matemática absoluta. Primero Gauss y luego Bolyai y Lobachesky demostraron la independencia del quinto axioma de Euclides, llamado axioma de las paralelas, proporcionando modelos consistentes de geometrías en las que no estaba presente este axioma. Es decir, existen geometrías que se adaptan perfectamente a la experiencia espacial y que no son euclídeas, ¿cuál es la verdadera?
Durante el siglo XIX los matemáticos se propusieron reconstruir toda la matemática con rigor y, cuando creían haberlo logrado, comenzaron a surgir las llamadas paradojas o contradicciones. De nuevo, todos los matemáticos acometieron su resolución pero esta vez se revisaron los fundamentos axiomáticos de partida, surgiendo así diferentes escuelas claramente diferenciadas por su visión de la epistemología y de la ontología matemáticas.
Una de las condiciones que un axioma debe cumplir es que sea consistente, es decir, que no dé lugar a paradojas. Las primeras paradojas surgieron cuando Cantor utilizó conjuntos infinitos y números transfinitos. Un ejemplo "no matemático" lo constituye la frase: "No hay regla sin excepción". La frase es una regla, luego debe tener excepciones, lo cual implica que hay reglas sin excepciones. Otros ejemplos de paradojas, en esencia similares, tienen que ver con los adjetivos autológicos y heterológicos y con las definiciones impredicativas.
Además de la consistencia, otro asunto comenzó a perturbar el sistema axiomatico establecido, el conocido axioma de elección. Básicamente éste establece que dada una colección de conjuntos, finita o infinita, se puede seleccionar un elemento de cada uno de ellos y formar un nuevo conjunto. La aceptación o no de este axioma iba a ser una de las claves diferenciadoras de las diferentes escuelas.
El logicismo:
Toda la matemática es reducible a la lógica. Los logicistas sostienen que el conocimiento matemático se puede tener a priori pero que es una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general. Desde este punto de vista la lógica es el fundamento de toda la matemática y por tanto toda afirmación matemática debe ser una verdad lógica. El fundador de esta escuela fue Frege y sus representantes principales Russell y Whitehead. Ambos desarrollaron sus ideas en su obra Principia mathematica. Para evitar las paradojas crearon la teoría de tipos pero complicaron tremendamente el desarrollo matemático y surgieron nuevos problemas que intentaron resolver introduciendo el axioma de reductibilidad. Esta aproximación a las matemáticas recibió numerosas críticas. Por ejemplo el axioma de reductibilidad es arbitrario y no se sabe si es un axioma de la lógica. La crítica más seria, de cariz filosófico, es que si el logicismo es cierto, toda la matemática sería una ciencia lógico deductiva puramente formal derivada de las leyes del pensamiento. Entonces, ¿cómo es posible que explique los fenómenos naturales y que el mundo físico se ajuste al razonamiento matemático?
El intuicionismo:
Esta escuela es totalmente opuesta a la anterior. Los precursores del intuicionismo fueron Kronecker y Poincaré, sin embargo todas sus ideas fueron recogidas por Brouwer, que fundamentó su aproximación a las matemáticas partiendo de su filosofía: "la matemática es una actividad humana que se origina y tiene lugar en la mente, en donde se reconocen intuiciones básicas y claras, no existe fuera de la mente y por lo tanto es independiente del mundo real". Los intuicionistas sólo aceptan el infinito potencial y rechazan las demostraciones no constructivas. Entre las críticas realizadas a esta escuela se deben tener en cuenta las siguientes:
El formalismo:
Su mayor exponente fue David Hilbert. Lo que le preocupaba realmente era una completa y consistente axiomatización de toda la matemática, entendiendo aquí consistente como que ninguna contradicción puede ser derivada del sistema axiomático. El formalismo en su versión deductivista dice que la verdad matemática sólo depende de la correcta manipulación de los axiomas elegidos y de las reglas de inferencia utilizadas. Aunque visto así no implique necesariamente ser sólo un juego simbólico sin significado. Para intentar probar la consistencia de toda la matemática Hilbert partió de la aritmética de los números naturales. Gödel demostraría más tarde que esto es imposible!
La principal crítica que se le ha hecho a esta escuela es la siguiente: el concepto formalista de existencia es metafísico, es decir, si los axiomas de cualquier rama no llevan a contradiccion, entonces la existencia de entidades que satisfacen los axiomas está garantizada.
Otras escuelas importantes son: el conjuntivismo, el constructivismo y el empirismo.
Las limitaciones internas de los sistemas formales:
A pesar de los esfuerzos de las diferentes escuelas existían aún dos graves problemas sin resolver. Por un lado el de la consistencia (se habían resuelto las paradojas conocidas pero nadie podía aseguar que surgieran otras) y por otro estaba el problema de la completitud. Un sistema de axiomas se dice completo si son los adecuados para establecer la verdad o falsedad de cualquier enunciado sifnificativo. Si un sistema no es completo hay enunciados que no se pueden probar ni refutar, tales enunciados se llaman indecidibles.
En el año 1931, a la edad de 25 años, Kurt Gödel publicó un artículo en el que demolía por completo el programa de Hilbert. En su primer teorema de incompletitud Gödel demostró que cualquier sistema axiomatico consistente que contenga la aritmética básica es incompleto, es decir, dentro del sistema se pueden construir afirmaciones que no pueden ser refutadas ni demostradas a partir de los axiomas. El segundo teorema de incompletitud de Gödel también supuso un duro golpe para HIlbert: un sistema de axiomas consistente no puede probar su propia consistencia, se necesita recurrir a un sistema más fuerte que ya se sepa que es consistente.
Todos tenemos unos principios casi absolutos sobre los que fundamentamos nuestras vidas y quizá no somos conscientes de la finitud y relatividad de nuestro conocimiento. Sin embargo, creo también que no es bueno pensar demasiado, sólo lo necesario, dependiendo de cada cual, para alcanzar una relativa tranquilidad-felicidad. Cuando era adolescente mantuve una discusión con un amigo acerca del realismo matemático. Son las matemáticas una creación humana para explicar el mundo físico o bien surgen de manera natural de éste?. El realismo matemático sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente de la mente humana, que los humanos no inventan las matemáticas sino que las descubren como presumiblemente lo harán otros seres inteligentes en el universo. Muchos grandes matemáticos han sido realistas como Paul Erdős y Kurt Gödel. Gödel creía en una realidad matemática objetiva que puede ser aprehendida de una manera análoga a la percepción sensitiva.
Las matemáticas han sido consideradas desde la antigüedad un cuerpo de verdades absolutas y una ciencia exacta. Esta consideración se basa, principalmente, en la infalibilidad del método deductivo, que consiste en demostrar determinadas propiedades a partir de unos cuantos axiomas siguiendo unas reglas de inferencia establecidas.Durante los siglos fueron apareciendo problemas abiertos aunque existía la certeza de que algún día serían resueltos.
Fue en el siglo XIX, sin embargo, cuando en geometría apareció una idea extraña que hizo dudar a los matemáticos de su confianza ciega en la verdad matemática absoluta. Primero Gauss y luego Bolyai y Lobachesky demostraron la independencia del quinto axioma de Euclides, llamado axioma de las paralelas, proporcionando modelos consistentes de geometrías en las que no estaba presente este axioma. Es decir, existen geometrías que se adaptan perfectamente a la experiencia espacial y que no son euclídeas, ¿cuál es la verdadera?
Durante el siglo XIX los matemáticos se propusieron reconstruir toda la matemática con rigor y, cuando creían haberlo logrado, comenzaron a surgir las llamadas paradojas o contradicciones. De nuevo, todos los matemáticos acometieron su resolución pero esta vez se revisaron los fundamentos axiomáticos de partida, surgiendo así diferentes escuelas claramente diferenciadas por su visión de la epistemología y de la ontología matemáticas.
Una de las condiciones que un axioma debe cumplir es que sea consistente, es decir, que no dé lugar a paradojas. Las primeras paradojas surgieron cuando Cantor utilizó conjuntos infinitos y números transfinitos. Un ejemplo "no matemático" lo constituye la frase: "No hay regla sin excepción". La frase es una regla, luego debe tener excepciones, lo cual implica que hay reglas sin excepciones. Otros ejemplos de paradojas, en esencia similares, tienen que ver con los adjetivos autológicos y heterológicos y con las definiciones impredicativas.
Además de la consistencia, otro asunto comenzó a perturbar el sistema axiomatico establecido, el conocido axioma de elección. Básicamente éste establece que dada una colección de conjuntos, finita o infinita, se puede seleccionar un elemento de cada uno de ellos y formar un nuevo conjunto. La aceptación o no de este axioma iba a ser una de las claves diferenciadoras de las diferentes escuelas.
El logicismo:
Toda la matemática es reducible a la lógica. Los logicistas sostienen que el conocimiento matemático se puede tener a priori pero que es una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general. Desde este punto de vista la lógica es el fundamento de toda la matemática y por tanto toda afirmación matemática debe ser una verdad lógica. El fundador de esta escuela fue Frege y sus representantes principales Russell y Whitehead. Ambos desarrollaron sus ideas en su obra Principia mathematica. Para evitar las paradojas crearon la teoría de tipos pero complicaron tremendamente el desarrollo matemático y surgieron nuevos problemas que intentaron resolver introduciendo el axioma de reductibilidad. Esta aproximación a las matemáticas recibió numerosas críticas. Por ejemplo el axioma de reductibilidad es arbitrario y no se sabe si es un axioma de la lógica. La crítica más seria, de cariz filosófico, es que si el logicismo es cierto, toda la matemática sería una ciencia lógico deductiva puramente formal derivada de las leyes del pensamiento. Entonces, ¿cómo es posible que explique los fenómenos naturales y que el mundo físico se ajuste al razonamiento matemático?
El intuicionismo:
Esta escuela es totalmente opuesta a la anterior. Los precursores del intuicionismo fueron Kronecker y Poincaré, sin embargo todas sus ideas fueron recogidas por Brouwer, que fundamentó su aproximación a las matemáticas partiendo de su filosofía: "la matemática es una actividad humana que se origina y tiene lugar en la mente, en donde se reconocen intuiciones básicas y claras, no existe fuera de la mente y por lo tanto es independiente del mundo real". Los intuicionistas sólo aceptan el infinito potencial y rechazan las demostraciones no constructivas. Entre las críticas realizadas a esta escuela se deben tener en cuenta las siguientes:
- Muchos de los teoremas probados en la reconstrucción intuicionista no son, ni mucho menos, aceptables intuitivamente.
- Hilbert se pregunta ¿en qué conceptos y razonamientos podemos confiar si corrección significa autoevidencia para la mente humana? ¿Dónde está la verdad objetivamente válida para todos los seres humanos?
- El intuicionismo no se preocupa por la aplicación de las matemáticas a la naturaleza, ya que mantiene que las matemáticas son independientes de la percepción.
- Brouwer mantenía que la actividad matemática es independiente del lenguaje, que sólo es vehículo transmisor, pero ¿existen pensamientos sin palabras?
El formalismo:
Su mayor exponente fue David Hilbert. Lo que le preocupaba realmente era una completa y consistente axiomatización de toda la matemática, entendiendo aquí consistente como que ninguna contradicción puede ser derivada del sistema axiomático. El formalismo en su versión deductivista dice que la verdad matemática sólo depende de la correcta manipulación de los axiomas elegidos y de las reglas de inferencia utilizadas. Aunque visto así no implique necesariamente ser sólo un juego simbólico sin significado. Para intentar probar la consistencia de toda la matemática Hilbert partió de la aritmética de los números naturales. Gödel demostraría más tarde que esto es imposible!
La principal crítica que se le ha hecho a esta escuela es la siguiente: el concepto formalista de existencia es metafísico, es decir, si los axiomas de cualquier rama no llevan a contradiccion, entonces la existencia de entidades que satisfacen los axiomas está garantizada.
Otras escuelas importantes son: el conjuntivismo, el constructivismo y el empirismo.
Las limitaciones internas de los sistemas formales:
A pesar de los esfuerzos de las diferentes escuelas existían aún dos graves problemas sin resolver. Por un lado el de la consistencia (se habían resuelto las paradojas conocidas pero nadie podía aseguar que surgieran otras) y por otro estaba el problema de la completitud. Un sistema de axiomas se dice completo si son los adecuados para establecer la verdad o falsedad de cualquier enunciado sifnificativo. Si un sistema no es completo hay enunciados que no se pueden probar ni refutar, tales enunciados se llaman indecidibles.
En el año 1931, a la edad de 25 años, Kurt Gödel publicó un artículo en el que demolía por completo el programa de Hilbert. En su primer teorema de incompletitud Gödel demostró que cualquier sistema axiomatico consistente que contenga la aritmética básica es incompleto, es decir, dentro del sistema se pueden construir afirmaciones que no pueden ser refutadas ni demostradas a partir de los axiomas. El segundo teorema de incompletitud de Gödel también supuso un duro golpe para HIlbert: un sistema de axiomas consistente no puede probar su propia consistencia, se necesita recurrir a un sistema más fuerte que ya se sepa que es consistente.
7 comments:
Es complicado hablar de matemáticas y que te entiendan, poca gente habla matemáticas, ni siquiera rudimentariamente, es como intentar hablar inglés conmigo jejeje...
No ahora en serio a mí me ha gustado mucho esta entrada de hoy, y no, no creo que le falte rigor. Me gustan las matemáticas, mucho. Me parecen interesantes las cuestiones que planteas.
Ayer por ejemplo estaba releyendo el dilema del prisionero, y me sorprendió una vez más como el bueno de Russell fue uno de los que encabezó el movimiento que perseguía la guerra preventiva contra la URSS, sus motivos la menos eran claros: planteado como problema matemático la mejor solución que la lógica ofrecía era bombardear la URSS cuanto antes.
Un beso, Miriam G.
Gracias Miriam por comentar, casi apostaba por que no lo haría nadie. En realidad aunque las cuestiones de las que trata son profundas, son ya antiguas. Lo primero es el realismo: existe el mundo independientemente del hombre o sólo es real en la medida en que lo percibimos?
La segunda es que partiendo de cualesquiera creencias (axiomas) no podemos saber si llegaremos a una paradoja como la de Russel p. ej, para ello deberíamos recurrir a creencias más fuertes que tampoco sabríamos si son consistentes, deberíamos recurrir a otras superiores y así ad infinitum....
y lo tercero es que dadas unas creencias siempre podemos construir afirmaciones que pueden ser ciertas o falsas, y no llegar a contradicción...son indecidibles!!
qué lío!
Aún así tengo pensada la otra cara de este post que caerá en breve, a mi vuelta de vacaciones (tendrá que ver con el pragmatismo).
Un beso.
A mí me ha parecido muy educativa, y supongo que rigor no le falta porque se nota que sabes de lo que hablas. En realidad, no puedo juzgar eso, ya que sólo conozco, y marginalmente, a Gödel, al que investigué un poquillo a raíz del libro "Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid". Me pareció muy interesante, pero no hay tanto tiempo en la vida humana para aprender de todo lo que nos apetece, y yo tengo que autolimitarme bastante porque soy muy dada a la dispersión. Y tiene que quedarme tiempo para perrear...
La primera edición de ese libro data del 79. Yo lo ví la primera vez hace unos 9 años y es la próxima adquisición que me gustaría hacer, aunque cuesta una pasta pero después de su opinión al respecto ya sí que no cabe duda :D
La limitación temporal, qué cosa más chunga. Cuántas más cosas intento hacer parece que menos me cunde el tiempo. Creo que me ocurre como a usted, yo soy muy dado a la dispersión también. Se supone que soy matemático pero dedico la mayor parte de mi tiempo a otros menesteres: música, cine, literatura, viajar, idiomas...Viva el eclecticismo. Además, no sé por qué pero sus ganas de perrear son contagiosas jeje
y antes de que me olvide, gracias por su opinión acerca del post.
Yo le animo a que continue con este tipo de posts en el futuro.
Pero, si me permita la sugerencia, no junte tantos conceptos al mismo tiempo porque su acumulacion cansa. Mejor poquitos y bien explicados.
Le agradezco la sugerencia Dr. De hecho es una crítica bastante constructiva y tiene toda la razón. Gracias por su comentario y sea bienvenido! (póngase cómodo)
Llegué, vi, leí. Yo le diría que no tenga demasiados problemas sobre si será o no comprendido... Tengo cierto alter ego del que, estoy bastante segura, prácticamente nadie lee lo que escribe, entre otras cosas porque no es que se le entienda mucho, que digamos... Pero a lo del post. La verdad es que lo he encontrado muy pedagógico, brillante en la redacción, la síntesis y la comprensibilidad... Los temas no es que me vinieran completamente de nuevo, aunque tampoco sea, ni de lejos, una experta... Cosas, como usted decía, de la dispersión... que una es de letras y de tradición, digamos, más continental que analítica... en fin, los temas sobre matemáticas y lógica, sobre fundamentos y ontología de las mismas, de vez en cuando se me aparecen, y aunque determinados aspectos por fuerza se me escapan, hay bastantes cosas que me dan que pensar y son de mi interés. No se corte, pues, de escribir más sobre el tema, si le apetece... Un saludo.
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